壹、前言

      傳統四等第計量方法將資料分成四類﹐使觀察者較容易填答﹐但進一步分析因受觀察者的個別差異現象而有困難；百分數計量將資料結果以百分距呈現﹐是一標準參照﹐容易看出分數的高低﹐但一兩分的差別在觀察中並不能顯示出太大的意義；故近年來興起運用模糊運算、分析及其解釋效用﹐來對量化和質化（模糊）資料作評量的新方向。

　　模糊理論是近幾年來新興發展的理論﹐創始於美國加州大學柏克萊分校的Zadeh（1965）年在「Information and Control」上提出「模糊集合」(Fuzzy Sets)的概念﹐他發現當系統越趨複雜﹐越精確的描述將失去意義﹐稱之為「不相容原理」(principle of incompatibility)﹐而利用經典數學所建立的數學模型不可能與實際系統完全吻合﹐經常遇到無法建立精確描述的數學模型的問題﹐故一般的作法是簡化數學模組或犧牲系統部分的性質來以利數學處理上的方便﹐這說明確定數學模組所受的局限性﹐因此﹐這種對事物所具有的模糊性所進行的認知和觀察﹐便要仰賴模糊理論了(楊敏生，民83年；何偉雲，民85)。

貳、傳統觀察活動的計量評量

       近幾年來﹐資優生的鑑定的方式一直在持續改善中﹐在鑑定概念上﹐從單一工具評量到多元資料的綜合﹔在鑑定工具上﹐由著重量化工具的運用到觀察、晤談等質化資料的採用﹔在鑑定內容上﹐由側重認知的評量到兼重情意的評量﹔在鑑定方法上﹐由思考結果的評量到思考歷程的分析（郭靜姿﹐民84）﹐但有關質化觀察資料卻一直無法作較科學驗證的運算與分析﹐通常以四等第、五等第來分類﹐或轉化成百分數來計量。

2.1四等第計量的評量方式：

       本研究所用的觀察量表﹐以台北市立師範學院特殊教育中心針對資賦優異學生鑑定過程中﹐第二階段觀察所用的資優特質觀察記錄表為研究工具﹐其內容分成學習能力、學習精神、創造能力及人際溝通能力等四個大項﹐每大項各分成若干個觀察細目﹐其依續為10﹐9﹐8﹐9個細目﹐總共36個觀察細目﹐每個觀察細目以四種等第來評量﹐即完全不符、偶而相符、大致相符及完全相符等四種等第。最後﹐再用各大項取多數（或平均值）決定四大項的評量結果。

2.2百分數計量的評量方式：

       觀察活動乃決定資優生入班的重要參考依據﹐雖然觀察量表依不同的觀察領域給予四等第的評量﹐但在資賦優異學生鑑定安置會議中﹐資料的呈現是以百分數計量的評量﹐且容易看出其百分比﹐易於對照常態分配比率﹐故各校均以百分數計量給學習能力、學習精神、創造能力及人際溝通能力等四個大項不同的分數﹐或直接主觀評定、或用觀察量表四等第計量來轉化﹐本研究即以觀察量表四等第計量採以下的方式來轉化：

參、模糊理論及其測度運算

3.1 模糊理論：

      模糊理論從早期的理論發展到後來各式各樣的應用﹐從分類（Yang﹐M.S.1993b）、控制（Surgeon﹐M.1985）、數學規劃（Fuller,R.＆Zimmermann﹐H.J.1993）、類神經網路（Keller ,et al.1992）以及到後來到國內的社會科學方面（吳柏林，民83；民85）等等的應用﹐相關方面的文章已超過三萬篇以上﹐但國內在教育上的文獻﹐一直不多﹐不過卻也散見於數學教育（Yen﹐1996）、化學（蘇育任，民85）、運動科學（王順正，民82）、教學評量（簡茂發等，民81）甚至學習成就評量（張鈿富等﹐民82；何偉雲﹐民84）等方面﹐而心理學家Zetenyi則指出模糊集合理論對心理學的研究﹐除了用作通常思想的一種「模型」（model）或「隱喻」（metaphor）外﹐更有助於數據分析及理論建構（Zetenyi﹐1988）。

3.2 有限模糊集（fuzzy set）：

      古典集合論中﹐元素和集合的關係是「屬於」和「不屬於」的關係﹐是０與１的判別﹐而集合的界限是明確的﹐所以古典集合為和模糊集合有所分別﹐我們又稱之為「明確集合」（crisp set）﹐模糊集合是指界限不明具有特定性質事物的集合﹐其是古典集合的擴充﹐將明確集合「非此即彼」的特性擴充至「亦此亦彼」的關係也存在(葉榮木﹐民82；何偉雲﹐民85)﹐也就是說﹐元素和集合的關係藉由一個隸屬函數存在﹐其可以在〔0,1〕區間上連續取值﹐代表元素屬於集合的「可能性」﹐本研究即以四等第作模糊取值﹐因取值個數為有限﹐以及便於和模糊數相比較﹐故稱為有限模糊集。

3.3 連續模糊數（fuzzy number）：

      模糊數即是實數線上之模糊集合，並利用模糊原則擴展實數線上一般代數運算至模模糊運算，如「約100」或「100左右」。(陳火山﹐民73)。模糊數的形狀以往大部分的形狀都採正三角形或等腰梯形，現亦有研究將其擴展至一般三角形或梯形及多維度的模糊向量（劉賢雄﹐民85；林子舜，民86）﹐本文所研究的模糊數採用函數圖形為等腰三角形的L-type之模糊數（Dubois and Prade﹐1978）﹐對觀察資料作模糊運算﹐因模糊數的取值是一個實數區間﹐故稱之為連續模糊數。

3.4 模糊隸屬函數（membership function）的推估：

      模糊理論的應用，受到隸屬函數的影響很大，因此建立特定問題（模糊問題）的隸屬函數，是應用模糊理論方法的重要步驟。一個具體的模糊現象，首先應當確定其切合實際的隸屬函數，才能應用模糊數學方法作為定量分析的依據。提出確定隸屬函數的一般原則與主要方法如下(闕頌廉，民80；藎壚，民80；張鈿富等，民82)：

      在本研究中﹐隸屬函數的推估﹐一開始採樣以等腰三角形的兩邊為隸屬函數﹐僅就三角形底邊兩端點作觀察評量﹐其餘模糊數隸屬函數之推估皆由模糊運算所得。

3.5 模糊運算與模糊測度運算

定義3.5.1

間斷模糊集Ａ=（u_i/a_i）=（u₁ ﹐u₂ ﹐…… ﹐u_n）若且唯若其隸屬函數u_i具有以下的性質：0≦u_i≦1﹐" i﹐此處﹐a_i為模糊集的取樣元素

定義3.5.2

三角連續模糊數β=（a,b）_Ｌ若且唯若其隸屬函數u具有以下的性質：

        兩個間斷模糊集的運算﹐是根據最大和最小合成的觀念﹐令☉與♁是模糊矩陣 Ａ=（a_ij）_{n5 n}與Ｂ=（b_ij）_{n5 n}的兩種模糊合成運算﹐則其具有以下若且唯若的性質：

定義3.5.3

　Ａ♁Ｂ=Ｑ=（q_ij）_{n5 n}且q_ij = max_1<i,j<n （a_ij ﹐b_ij）

　Ａ☉Ｂ=Ｒ=（r_ij）_{n5 n}且r_ij = max_1<i<n min_1<j<n（a_ij ﹐b_ij）

兩個連續模糊數的運算﹐亦是根據最大和最小合成的觀念﹐令◎是兩模糊數β₁=（a₁,b₁）_Ｌ與β₂=（a₂,b₂）_Ｌ的模糊合成運算﹐則其具有以下若且唯若的性質：

定義3.5.4

若 β=（a ,b）_Ｌ＝β₁◎β₂﹐

且 a=（a₁+a₂）/2﹐b= max（b₁,b₂）﹐

一般向量與連續模糊數的運算根據最大和最小合成的觀念﹐並和傳統運算結合的觀念﹐令5 是一般（正規化）向量與模糊數的合成運算﹐則其具有以下若且唯若的性質：

定義3.5.5

肆、各種評量方式的應用

4.1 四等第計量的應用：

      本次的評量方式﹐採用級任導師、家長及資優班老師作資優特質觀察的記錄資料來分析﹐其觀察記錄表如附件一﹐應研究所需﹐此觀察記錄請相關人員填答時﹐以塗連續方格子數格的方式取樣﹐方格子中點靠近四等第的位置﹐即該觀察者給學生的觀察等第﹐則以Ａ生為例﹐級任導師、家長及資優班老師對其四大項36個觀察細目所給的評量如下：

表中1﹐2﹐3﹐4分別代表完全不符、偶而相符、大致相符及完全相符四種程度﹐經取平均所得學習能力、學習精神、創造能力及人際溝通能力等四個觀察大項結果﹐以及級任教師、家長及資優班老師對Ａ生依（0.5﹐0.3﹐0.2）比例所得綜合觀察評量的結果﹐Ａ生在學習精神和人際溝通能力兩項和資優生的特質完全相符﹐而學習能力與創造能力兩項則是大致相符。

4.2 百分數計量的應用：

百分數的評量方式﹐採用塗連續方格子數格的中數為百分數的計數（該記錄表格子分成十格）﹐以Ａ生為例﹐級任導師、家長及資優班老師對其四大項36個觀察細目所給的評量如下：

        表中各百分數計量經取平均所得學習能力、學習精神、創造能力及人際溝通能力等四個觀察大項結果﹐以及級任教師、家長及資優班老師對Ａ生依（0.5﹐0.3﹐0.2）比例所得觀察評量的結果﹐Ａ生在學習能力、學習精神、創造能力與人際溝通能力的成績的得分分別為71.3,84.4,68.8.87.5均達及格程度﹐若依常態分配的比率﹐四項所佔的地位﹐依序為+0.56、+1.0、+0.47及+1.15標準差﹐因此百分數計量有利於一般的評量觀察﹐和方便與其他同學作比較﹐若需以四等第計量比較﹐則Ａ生在學習精神和人際溝通能力兩項和資優生的特質完全相符﹐而學習能力與創造能力兩項則是大致相符﹐這和4.1的結果一致。

4.3 間斷模糊集計量方式的應用

間斷模糊集的評量方式﹐採用塗連續方格子數格的兩端點為模糊區間﹐中點為L-type型模糊隸屬函數值為1的點﹐則以Ａ生為例﹐級任導師、家長及資優班老師對其四大項36個觀察細目所給的評量原始數據資料如下：

如表五﹐再依四等第模糊取樣元素（12.5﹐37.5﹐62.5﹐87.5）給與不同的隸屬函數﹐以Ａ生為例﹐級任導師、家長及資優班老師對其四大項36個觀察細目所給的評量如下：

表六乃依定義3.5.2　 L-type型函數圖形為三角形的模糊數所定義﹐Ａ生經由資優班老師觀察所得學習能力第一個細目模糊數a值為80﹐b值為20﹐所求的間斷模糊集L_１^* =（0﹐0﹐0.125﹐0.625）

因 1-（｜87.5-80｜）/20 ＝ 0.625

1-（｜62.5-80｜）/20 ＝ 0.125

再取L_１^* 的正規標準模糊集

　　　　L_１ ＝（0﹐0﹐0.125﹐0.625）/0.75

　＝（0﹐0﹐0.17﹐0.83）

接著依定義3.5.3﹐並以級任導師、家長及資優班老師的加權分配模糊集為(0.5﹐0.3﹐0.2)﹐所計算得各項觀察項目的有限模糊集綜合評量詳列如下：

其中﹐Ａ生經由資優班老師觀察所得學習精神模糊集綜合評量

Ｓ^*=（0﹐0﹐0.87﹐1）　 因 max（0﹐0.83）= 0.83﹐max（0.17﹐1）= 1

再取Ｓ^* 的正規標準模糊集

Ｓ =（0﹐0﹐0.83﹐1）/ （0.83 + 1） =（0﹐0﹐0.45﹐0.55）

而Ａ生級任老師、家長及資優班老師觀察所得學習精神模糊集綜合評量

因Ｓ_fuzzy^*非標準化取﹐再取Ｓ_fuzzy^*的正規標準模糊集

　Ｓ_fuzzy =（0﹐0.3﹐0.5﹐0.5）/ 1.3 =（0﹐0.24﹐0.38﹐0.38）

        由表七﹐我們得知Ａ生的資優特質在學習能力和學習精神上﹐和資優生的特質有24％偶而相符﹐38％大致相符﹐38％完全相符﹐在創造能力上﹐則和資優生的特質有38％偶而相符﹐38％大致相符﹐24％完全相符﹐在人際溝通能力上﹐則和資優生的特質有38％大致相符﹐62％完全相符﹐若採四等第方式﹐則學習能力、學習精神、創造能力的評量和資優生特質大致相符﹐人際溝通能力的評量和資優生特質完全相符﹐和4.1及4.2差異不大。若採取百分數計量的方式﹐則學習能力、學習精神、創造能力以及人際溝通能力的評量分別為66﹐66﹐59以及78﹐有偏低的傾向。

4.4 連續模糊數計量方式的應用

連續模糊數的評量方式﹐以Ａ生為例﹐級任導師、家長及資優班老師對其四大項36個觀察細目所給的評量原始數據資料如表七﹐接著依定義3.5.4和3.5.5並以級任導師、家長及資優班老師的加權分配模糊集為（0.5﹐0.3﹐0.2）所得的各項觀察所得的間斷模糊集詳列如下表：

其中﹐Ａ生經由資優班老師觀察所得學習精神模糊集綜合評量

Ｃ^*=（76,20）_Ｌ

因 （85＋90＋95＋80＋40＋60＋80＋80）/8 = 76 (即a值)

max（5﹐10﹐5﹐10﹐10﹐20﹐20﹐10）= 20 (即b值)

而Ａ生經級任老師、家長及資優班老師觀察依加權分配模糊集為（0.5﹐0.3﹐0.2）所得學習精神模糊集綜合評量

　　　　　Ｃ_fuzzy=（68.8,20）_Ｌ

伍、結果與建議

依4.1至4.4的討論中﹐我們得到以下的結果：

（1）模糊觀察資料的評量方式﹐均可轉化成百分數計量來表示﹐以便和傳統

的分數﹐再作最後的加權平均。

（2）質化的觀察資料﹐以四等第計量較易觀察、處理﹐但不容易作計量分析。

（3）百分數計量是一種常用的計量方式﹐有標準參照可參考﹐亦可和常態分

配互相對照﹐並容易作個體間之比較。

（4）百分數計量可轉換成四等第計量﹐本文例子的結果兩者是一致的。

（5）模糊運算對質化觀察資料的分析﹐不僅是歸類和分數的大小﹐可針對不

同的觀察現象作個別差異的比較﹐這是四等第計量和百分數計量所無法

呈現的﹐而且也可將其評量結果﹐轉化成四等第計量與百分數計量。

（6）有限模糊集可針對不同的觀察現象作個別差異的比較﹐轉化成四等第計

量後﹐本文例子的結果兩者是一致的。轉化成百分數計量後﹐本文例子

其分數有偏低的現象。

（7）連續模糊數可針對不同的觀察現象作個別差異的比較和有限模糊數差異

﹐但轉化成四等第計量和百分數計量後﹐本文例子的結果兩者都是一致

的。可見連續模糊數暨可針對不同的觀察現象作個別差異的比較﹐又和

傳統的兩種計量方式差異不大﹐可見是值得研究的一種評量方式。

（8）本研究旨在提出模糊分析在評量上的應用﹐只取一個例子並不能代表那

種計量方法優劣如何﹐有必要針對全部學生甚至擴大到其他學校樣本再

作深入研究。

（9）質化觀察資料的產生﹐由不同家長、不同級任老師所填寫﹐是否會產生

標準不一的情況?

（10）模糊運算的方法﹐在有限模糊集的運算有較趨一致的現象﹐而連續模糊

數的運算方法尚不統一﹐各種方法是否結果一致﹐亦待深入探討。

（11）級任老師、家長及資優班老師三者的加權比﹐如何產生? 本研究所採用

的加權（0.5﹐0.3﹐0.2）比值是否恰當?或各校可依自己學校自訂比值﹐

甚至是受觀察者本身的自評﹐是否亦可加入加權比? 這都是值得再深入

陸、結語

        資賦優異學生的鑑定﹐是一連串複雜的過程﹐如何避免「遺珠之憾」與「魚目混珠」﹐有賴於良好的鑑定制度與準確的鑑定工具﹐傳統的計量方式﹐一般反應較質疑的是評分的客觀性﹐數據本身和事實上的差異其意義何在﹐採用等第計分法﹐強迫歸類﹐對臨界分數學生﹐造成另外一種不公平。

資賦優異學生的鑑定﹐採用模糊分析模式﹐可提高評量本身的真實性與可靠性﹐從本文探討中﹐模糊分析原理較能處理真實世界中所面臨的複雜性與曖昧性。以目前模糊理論的發展與模式的改進﹐未來模糊評量架構之建立是可預期的﹐一但模糊分析模式在處理評量上的效力為一般人所接受﹐則真正解決評量上的一些矛盾問題則指日可待﹐對於特殊兒童尤其是資賦優異學生的鑑定﹐這些針對人複雜的評量﹐一定更具有其價值。

附錄：資優生入班觀察記錄表。